趣谈数学素养 | 建模能力,让孩子不用机械刷题也能好好学习

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建模,是建立模型或者建立模式的简称,是数学研究乃至数学教学中经常用到的一个概念。所谓模,除了可以理解为模式或模型以外,还可以理解为相对固定的一套做事程序。别以为“模”一定是什么高大尚的东西,广义上的“模”包含的东西可多着呢。比如要求长方形的面积,先量出长和宽,再将长和宽的数值乘起来得到面积的数值,这种解题程序也叫做“模”。类似的例子在数学领域中非常多,下面举个适用度更广的“模”给大家了解一下:
 

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上面这个例子涉及的“模”,适用度比长方形面积公式要大一些,它不仅用来解决单一的问题,还用来解决一类问题。

下面这个是工作中实际应用的例子:

小许是某教育机构的老师兼管理人员,从2014年开始,她要负责机构里的年度学生考核排名赛工作。她满怀自信地接下这个工作,并将手下的人分成几组,一组负责联系场地,一组负责命制考题,一组负责安排报名……原以为工作会非常顺利地开展,结果却让小许乱了套。没错,分配工作是做到了,但工作组之间的协调,尤其是时间点的协调上对接不上,最后又发现某些必要的事情忘了做。眼看时间只剩下不到一个月了,她不得不找过去负责这件工作的老张帮忙。


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老张耐心地告诉小许,当年他刚接手这件工作的时候,也是搞得手忙脚乱,出了不少差错。事后,他将组织比赛要做的所有事情用纸写下来,一件一件地理清它们之间的逻辑顺序以及轻重利害,做成一份备忘录,实际上这是整件工作的流程安排。比如试题的命制校对工作必须在开考前三个星期完成,因为送往印刷厂印刷、试卷的分装,前后需要两个星期,另外需要再预留一个星期的时间作突发勘误工作。

又如考场地点必须先确定,然后负责发考试通知的同事才能跟进工作。负责报名的那个组要多派人手,因为全市有十几个考场,一时会无法预知每个考场的报名人数有多少,会否出现井喷的现象,一切需要做好统调的准备。再者,由于每年排名赛的时间基本固定在四月份的某几天,所以老张的备忘录会具体到2月份哪一周要完成什么工作,3月份哪一周要完成什么工作。有了时间节点上的大致安排,负责人对工作的进度就心中有数,自然忙而不乱了。小许欣喜地接过老张的备忘录珍藏起来,以后或者还要传给下一任负责人呢。


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很多人经常要负责统领安排一项工作,但能做到老张那样的却并非多数。有些人一件事重复做几十次,依然乱七八糟,很大程度上跟这个人缺乏模式化的数学素养有关。故事的最后,有一句话值得所有读者反思,老张的备忘录可以传给小许,甚至她的下一任负责人,这表明模式化的事物,能够有良好的传承作用,并且它作为一种重要的间接知识,将受惠于许许多多的人,使人做事少走弯路、提升效率。

回到数学教学中,帮助学生建模、形成模式化的数学素养是十分重要的。但重点是,模式的建立过程中有两件事需要客观辩证地解决好,即建立模式的引例数量和引例的呈现方式。比如要建立“牛吃草问题”的解题思路(解题模式),肯定需要一定量的例题和习题来实现,但这并不代表要大量刷题。因为机械刷题,同时任教老师又缺乏对数学问题本质的挖掘、沟通及对学生练习结果的有效反馈,往往会使学生形成思维定势,“硬套模子做包子”,这样思维死板的“模”,不要也罢,要了可能还害人。


卓越教育的数学老师曾经出过一道这样的题目来测试学生:一片牧草,可供7头牛和5头羊吃20天,或者供4头牛4头羊吃30天。那么这片牧草可以供11头牛和9头羊吃多少天?


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结果好多善于刷题的学生抓破头皮,三元方程都用上了,还是解不出来,但这道题看起来端然是孩子们熟悉的“牛吃草问题”。如果教这些孩子的老师,在阐明“牛吃草问题”的数量关系时,没有抓住本质之处——草的总量是一个变量,随天数的增长会发生变化,那么学生自然就会将上面这道题完全等同于“牛吃草问题”,然后难以走出思维的陷阱。

卓越教育的数学老师出的这道题其实是十分简单的工程问题,将“7头牛和5头羊”看成甲工程队,“4头牛4头羊”看成乙工程队,因为7头牛加4头牛等于11头牛,5头羊加4头羊等于9头羊,所以“11头牛和9头羊”同吃一片牧草,相当于甲乙两个工程队合作完成一项工作。这道题的列式解答可以如下:

现在大家终于明白了吧,模式化很重要,但凡是提到模式,一定要考虑它的概括度和适用度,它是否足够地揭示出问题的本质。某些一味追求难度和擅长刷题的老师,教学时往往是什么都去建模,然后大量地刷题,把这个模式操练纯熟,结果学生就越学越死板,成了活生生的解题机器,这已远离了数学教育的初衷。


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此例子的目的是想阐明一个观点:模式化是一种重要的数学思维和数学素养,但同时将事物模式化又是一项亟需谨慎的行为,任何细节的处理不当,都会使事物朝着不利的方向发展。数学教育家们也深知,模式化非常重要,不管在数学领域的研究还是其他领域的研究皆是如此。但不懂教育规律的人,就会一味地推行这样的模式那样的模式,像颇有“声名”的“杜郎口教育模式”(详细资料请查询网络),就只会在若干年后成为人们批判教育的谈资。放在浩瀚的教育理论海洋中,最多只能用蒲松龄先生的一句话来形容——止增笑耳!我们也可以这样认为,实施并推行这种模式的人,本身就不具备良好的数学素养。

数学素养本是阳春白雪,希望本文中几个工作生活中真实存在的例子,能让大家了解到具备良好数学素养的人是啥模样的,同时更进一步明白人养成良好的数学素养有多么的重要。
 
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