趣谈数学素养 | 当数学遇上概念化,会给生活带来什么样的惊喜?

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 数学素养属于认识论和方法论的综合性思维形式,具有数学素养的人善于把数学中的概念结论和处理方法推广应用于认识一切客观事物,具有这样的哲学高度和认知特征。

本次卓越360特约数学专家将以本文为载体,从生活例子入手,为大家深入浅出地介绍,一个具备数学素养的人如何在认识事物、改造事物的过程中表现出概念化、抽象化和模式化的特点。

数学素养之“概念化的表现”
 
心理学认为,概念是反映事物本质属性的思维形式。所谓概念化就是人把所感知的事物的共同本质特点抽象出来,加以概括,是本我认知意识的一种表达,形成概念式思维惯性。

下面用一个工作案例进行说明:

某局长要迎接上面来访的贵宾,对秘书小陈说:“去给我从辖内职工中找三十个外型不错的姑娘,到时当礼仪小姐。结果小陈找来三十个姑娘,局长一看就翻脸不满意。另一个秘书小刘见了,马上应下这事去办。小刘人很机灵,辖内员工虽然有一万多,这三十号人可不是随便找的。她定下以下的标准:

1、身高在165厘米到170厘米之间,因为到时要列成方阵捧花迎接领导,人高矮不一站在一块儿不好看。
2、身材偏瘦一点为佳,因为到时要穿无袖连衣裙,身材胖或者过于丰满也不好看。
3、皮肤要尽可能白,因为衣服是深蓝色,这样衬起来才显得更好看。
4、能流利地讲普通话和粤话,因为到访的领导很多是广州那边过来的。能用两种语言沟通,茶会或晚会时能更令领导们感到亲切。
5、最好找未婚的或者结了婚没生小孩的,因为迎接领导的仪式需要反复排练,占用下班时间,结婚且生了小孩的人相对没那么方便。

小刘找齐三十人后,让她们穿上礼服来到局长面前,将整个迎接仪式排演了一遍,局长当即称好。

上面的例子中,大家会觉得小刘想问题很周到,很会捉摸领导的心意,这是官场文化的问题,我们不作讨论。但从数学素养的角度来说,小刘的做法很有数学味。“外型不错”是一个宽泛的词,从数学的角度来说,它没有准确的定义,或者说“外型不错”的概念并未用具体的语言符号描述出来。小刘综合了各种实际需要,给“外型不错”这个概念下了一个自己的定义,使之量化、条件化了,一来能符合实际的需要,二来也容易对号找人,事情便能轻易且高质量地办成了。

小刘面对的生活问题并不是直接的数学问题,但她具备良好的数学素养,能在认识事物和改造事物时做到概念化(将事物描述清楚,或界定清楚其所属类别),这正是当今数学教育在培养人、塑造人方面的一项重要任务。

我们的数学教育,无时无刻都在培养这种概念化的思维,有时候一些事物看起来很清晰,许多人却往往难以用精准的语言描述出来,这时候概念化数学素养的作用就体现出来了。给大家举个数学上的例子,就会明白一二。

数学上,多边形有的凹凸之分。比如下面的几个多边形中,前两个叫凸多边形,后两个叫凹多边形。就算没学过数学,也能看得出哪些是“凸”的,哪些是“凹”的。问题是,数学命题的表述需要严谨、准确的语句,可不许就凭感觉去给答案。

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我们来看看数学上是怎样巧妙地、准确且严谨地定义多边形的“凹”和“凸”。

对于一个多边形,任意一条边向两方无限延长成为一直线时,其他各边都在此直线的同旁,那么这个多边形就叫做凸多边形。如果存在一条边,将它延长成直线后,其余的边不能在直线的同旁,那么这个多边形就是凹多边形。

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如上图,左边的四边形ABCD,无论将它任何一条边延长成直线,其余各边均在直线的同旁(即同一侧),所以它是凸四边形。而右边的四边形ABCD,如果延长其AB边,那么AD和BC就位于直线的两侧,也就是不同旁,所以它是凹四边形。

以上的数学定义,将多边形的凹凸之分准确地表述清楚了,做到了本文中一向强调的概念化。正因为数学语言十分精妙,使得学习数学这门学科的人能不断地受到熏陶感染,长此以往便形成准确到位的表达能力。能准确表达事物的本质特征。

另一方面,概念化同时也是人的一种良好的认知习惯。像小刘这样的人,平时感知身边事物的时候,会非常注意事物的特征,能用自己的语言准确表述出来,并善于与别人沟通。同时,这样的人脑袋里会有一个非常清晰的概念系统,所以表达事情来层次分明,绝不含糊。

在此,我们试将话题扯远一点,例如在语文中,不少家长因为孩子作文写不好而头疼。其实作文写不好成因有好几个,但有一个常常被人忽略,就是孩子的概念化思维不佳。以写景的文章为例,有些孩子面对着一片美丽的景色,却无从下笔写成文字,那是因为景色虽然已在孩子的脑中形成表象,但大脑中的表象兑换成文字符号不是一道可以轻易越过的坎,它除了要求人有一定的词汇积累以外,还要求人能根据景物的主要特征,使之概念化,形成可以表达出来且能与人顺畅交流的词句。

古人因为蜀地山路之艰险而叹喟不已,所以大诗人李白曾有诗云:蜀道之难,难于上青天。不过“上青天”到底是一个什么概念呢?相信谁都没有这样的经历,所以这样去形容蜀道之难,完全没有做到概念化。不过李白既膺大诗人之名,固然会在别处给我们做个标准的概念化的示范。比如他在《送友人入蜀》一诗里,就很好地将蜀道之难概念化了——山从人面起,云傍马头生。通过这一反一正的对比,希望能帮助大家对于概念化思维有一个清晰的了解。

综上所述,概念化思维,或者说概念化的数学素养,对于一个人不仅仅是数学方面的能力体现,还有生活和工作方方面面潜移默化的影响,可见从小为孩子打好重要的数学素养基础十分重要!
 
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